Ο Έλληνας που έλυσε μαθηματικό γρίφο 78 ετών

Στα μαθηματικά υπάρχουν θεωρήματα, εικασίες και υποθέσεις, που παιδεύουν τους επιστήμονες περισσότερο από 100 χρόνια. Μαθηματικοί έχουν αφιερώσει ολόκληρη την ζωή τους για την απόδειξη μιας Εικασίας ή ενός Θεωρήματος, ενώ επιστημονικές κυψέλες που έχουν αναπτυχθεί σε πανεπιστημιακά τμήματα και ασχολούνται με τη θεωρία των αριθμών, προσπαθούν να λύσουν ορισμένες Εικασίες ή Θεωρήματα που στο πέρασμα του χρόνου έχουν πάρει τα χαρακτηριστικά θρύλων.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα η «Εικασία του Πουανκαρέ» που μετά από 100 χρόνια λύθηκε από τον Ρώσο μαθηματικό Γρεγκόρι Πέρελμαν. Σήμερα υπάρχουν τουλάχιστον δέκα πολύ διάσημα προβλήματα Εικασίες ή Θεωρήματα που παραμένουν άλυτα με την πρωτοπορία της διεθνούς μαθηματικής κοινότητας να εστιάζει στη λύση τους.

Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος από την Κοζάνη είναι μόλις 35 ετών, είναι αναπληρωτής καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ και κατάφερε μαζί με τον συνεργάτη του James Maynard από την Οξφόρδη, να αποδείξει ή να λύσει όπως λέγεται στη γλώσσα των μαθηματικών, την Εικασία των «RJ Duffin και AC Schaeffer» που ταλάνιζε τους μαθηματικούς της Αναλυτικής Θεωρίας των Αριθμών εδώ και 78 χρόνια. Ο 35χρονος επιστήμονας μίλησε στο ΑΠΕ - ΜΠΕ για τη δουλειά του, περιέγραψε τη διαδρομή του και τις εμπειρίες του από τα αμερικανικά πανεπιστήμια του Ιλινόϊ και του Πρίστον, για το πώς έφτασε στο Μόντρεαλ, θυμήθηκε τις σπουδές του στο Μαθηματικό του ΑΠΘ αλλά και τα εφηβικά του χρόνια στο 2ο ΓΕΛ Κοζάνης. Μίλησε για τους δασκάλους του στην Κοζάνη και τη Θεσσαλονίκη, αλλά δεν δίστασε να μιλήσει ανοικτά και για το ελληνικό πανεπιστήμιο, για αυτά που ο ίδιος θα επιθυμούσε να αλλάξουν την επόμενη ημέρα.

Η εικασία των Duffin-Schaeffer

Η εικασία των «Duffin-Schaeffer» που διατυπώθηκε το 1941 αναφέρει τα κριτήρια που μπορούμε να θέσουμε ώστε να προσεγγίσουμε αριθμούς εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές. Οι δύο μαθηματικοί εισήγαγαν επίσης μια λεπτομέρεια που λέει ότι εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές ακόμη και ένα αραιό υποσύνολο αυτών, μπορεί κάποιοι αριθμοί να μην προσεγγιστούν ποτέ.

Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος λέει ότι στην εικασία των «Duffin-Schaeffer» υπάρχει μια δυικότητα ένας πολύ οξύς διαχωρισμός που δηλώνει από τη μια ότι έχεις αφήσει ένα μεγάλο περιθώριο ώστε με τους παρονομαστές που έχεις, να μπορείς να προσεγγίσεις όλους τους αριθμούς, και από την άλλη, εάν ήσουν υπερβολικά φιλόδοξος και με τους περιορισμούς που έχεις θέσει, δεν μπορείς να προσεγγίσεις κανέναν αριθμό. «Οπότε υπάρχουν αυτοί οι δύο κόσμοι που στον ένα μπορούμε να προσεγγίσουμε σχεδόν όλους τους αριθμούς και στον άλλον σχεδόν κανένα αριθμό, αλλά υπάρχει ένα απλό κριτήριο που αποφασίζει το πότε πέφτουμε σε κάθε περίπτωση».

Οι δύο μαθηματικοί το 1941 δημοσίευσαν ένα άρθρο στο οποίο διατύπωσαν αυτήν τους την εικασία, στη συνέχεια, εκεί γύρω στο 1990, υπήρξαν κάποια μικρά αποτελέσματα για την επίλυση της αλλά η εικασία παρέμενε άλυτη μέχρι το 2019 που αποδείχτηκε πλήρως από τον Δημήτρη Κουκουλόπουλο και τον James Maynard. Ο νεαρός μαθηματικός δεν κρύβει τη χαρά του που κατάφερε να δώσει λύση μετά από 78 χρόνια σ'ένα από τα κεντρικά προβλήματα στον τομέα της «μετρικής διοφαντικής προσέγγισης»

Η ιστορία του προβλήματος

Ο Δ. Κουκουλόπουλος εξηγεί ότι αυτό το πρόβλημα, ανήκει στο τομέα της θεωρίας των αριθμών και λέγεται «διοφαντική προσέγγιση» προς τιμήν του Διοφάντη της Αλεξάνδρειας που ήταν από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και έχει να κάνει με προσεγγίσεις αριθμών από κλάσματα.

«Οι περισσότεροι αριθμοί όπως για παράδειγμα ο αριθμός π που είναι μια μαθηματική σταθερά οριζόμενη ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου (π = P/δ) και είναι ίσος με 3,14159265, εμφανίζεται πάρα πολύ συχνά στα Μαθηματικά, στην Φυσική και εάν κάποιος κάτσει και γράψει τα δεκαδικά ψηφία για να δώσει μια προσέγγιση αυτού του αριθμού θα διαπιστώσει ότι δεν τελειώνουν ποτέ. Οι άνθρωποι δεν μπορούν αλλά ούτε και οι υπολογιστές μπορούν να δουλέψουν με τόσο πολύπλοκους αριθμούς και όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις θέλουμε πιο απλές προσεγγίσεις. Εάν γράψω τα δεκαδικά ψηφία του π και σταματήσω στο 3,14 μου δίνεται μια προσέγγιση του αριθμού μ΄ενα σφάλμα. Αυτόν το αριθμό μπορώ να το γράψω 3141/1000 που είναι κλάσμα που προσεγγίζει το π, αλλά στην πραγματικότητα από τους αρχαίους Έλληνες ξέραμε επίσης ότι μια πολύ καλή προσέγγιση του π που χρησιμοποιεί πολύ μικρότερους αριθμούς είναι το κλάσμα (22/7) που χρησιμοποιεί πολύ μικρότερο παρονομαστή. Ο παρονομαστής του είναι μόνο 7 ενώ ο παρονομαστής του άλλου κλάσματος είναι 1000. Το δεύτερο κλάσμα έχει πολύ μικρότερη πολυπλοκότητα. Και το ερώτημα είναι εάν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παρονομαστές μέχρι ενός φράγματος του 1εκατ, πόσο καλή προσέγγιση μπορούμε να έχουμε σε έναν αριθμό; Σε τέτοιου είδους μεγάλα ερωτήματα η "διοφαντική προσέγγιση" θέλει μ' ένα απλό κλάσμα να βρει απλές προσεγγίσεις αριθμών».

Η απόδειξη της Εικασίας σημαίνει κάτι σε σχέση με τις άλλες επιστήμες κάποιου είδους εφαρμογή στην ζωή; Γελάει εντελώς αυθόρμητα ακούγοντας την ερώτηση λέγοντας ότι «ετέθη προς συζήτηση το αιώνιο ερώτημα» και προσθέτει ότι δεν μπορεί να φανταστεί πώς θα μπορούσε να εφαρμοστεί συγκεκριμένα αυτό καθαυτό αυτό το θεώρημα γιατί εκτός των άλλων είναι κι ένα μετρικό θεώρημα. «Δεν ξέρω εάν θα υπάρξει κάποια συγκεκριμένη εφαρμογή. Στα θεωρητικά μαθηματικά θα ήταν ωραίο να βλέπεις τη δουλειά σου να εφαρμόζεται στην πραγματική ζωή αλλά η φύση των θεωρητικών μαθηματικών είναι τέτοια, που η εφαρμογή των ιδεών μπορεί να πάρει πολλά χρόνια μέχρι να γίνει κάτι ή να υπάρξει έστω μια έμμεση συμβολή».

Οι σπουδές στην Ελλάδα και η διαδρομή σε ΗΠΑ - Καναδα

Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος είναι γνήσιο τέκνο του ελληνικού δημόσιου σχολείου και του ελληνικού πανεπιστημίου. Αποφοίτησε από το 2ο ΓΕΛ Κοζάνης και στη συνέχεια εισήλθε στο Μαθηματικό του ΑΠΘ. «Μου άρεσαν τα μαθηματικά και οι αριθμοί και στην τελευταία τάξη του Λυκείου έλαβα μέρος στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής εταιρίας όπου κέρδισα το χάλκινο μετάλλιο». Όπως σημειώνει μιλώντας στο ΑΠΕ-ΜΠΕ το συγκεκριμένο γεγονός του πρόσφερε αυτοπεποίθηση και το ειδικό βάρος ώστε να διαλέξει την Μαθηματική Σχολή αντί του Πολυτεχνείου. Μιλά με σεβασμό και αγάπη για δύο καθηγητές του και τη συμβολή τους στη διαμόρφωση των κριτηρίων και των δεξιοτήτων του. «Ο Αθανάσιος Κοζικόπουλος ήταν ο μαθηματικός μου στο Πειραματικό Γυμνάσιο Κοζάνης, ένας άνθρωπος με πάθος για τα μαθηματικά που κατάφερε τελικά να μου μεταδώσει για τα καλά το μικρόβιο και ο καθηγητής Μαθηματικών του ΑΠΘ Δημήτρης Μπετσάκος ήταν εκείνος που συνομίλησα μαζί του πριν αποφασίσω τελικά τι να επιλέξω».

Πώς έφτασες από το ΑΠΘ στις ΗΠΑ; «Στο τελευταίο έτος έκανα αιτήσεις για να πάω στις ΗΠΑ, πάντα εκεί ήταν ο στόχος μου. Έκανα αιτήσεις σε διάφορα πανεπιστήμια αλλά επέλεξα να πάω απευθείας για διδακτορικό στο πανεπιστήμιο του Ιλινόϊ γιατί εκεί έχει μια πολύ καλή ομάδα στην Αναλυτική θεωρία των αριθμών που είναι ο τομέα της έρευνας μου, κι ένας από τους τομείς που μου άρεσαν από μικρό παιδί και μου εξίταρε τη φαντασία. Ήμουν αρκετά τυχερός γιατί εκεί άρχισα να δουλεύω με τον Kevin Ford έναν καθηγητή που είναι κορυφαίος στον τομέα του» απαντά μιλώντας στο ΑΠΕ-ΜΠΕ.

Ο νεαρός Κουκουλόπουλος τα πηγαίνει θαυμάσια και τον τελευταίο χρόνο του διδακτορικού ακολουθεί τον μέντορα του στο ναό της Αναλυτικής Θεωρίας στο πανεπιστήμιο του Πρίστον, όπου ένα έτος ήταν αφιερωμένο στην αναλυτική θεωρία με συμμετοχές από την αφρόκρεμα της παγκόσμιας μαθηματικής επιστήμης. Η εμπειρία του Πρίστον φαίνεται ότι επηρεάζει ακόμη περισσότερο τον Κουκουλόπουλο αφού εκεί γνωρίζει τους πιο σημαντικούς επιστήμονες στο τομέα του, μαθαίνει από κοντά για τα ερωτήματα που τους ταλανίζουν και εκεί θα γνωριστεί με τον Andrew Granville που στην συνέχεια το 2010 θα εργαστεί μαζί του στο μεταδιδακτορικό στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ.

Ποιος φαίνεται ότι μπορεί να κερδίζει τη μάχη της πρωτοπορίας στην έρευνα, η Ευρώπη ή η αμερικανική ήπειρος; Ο Δ. Κουκουλόπουλος επισημαίνει μιλώντας στο ΑΠΕ-ΜΠΕ ότι παρότι η Ευρωπαϊκή Ένωση επενδύει τεράστια κονδύλια στην έρευνα, «από την αίσθηση που έχω νομίζω ότι τα αμερικανικά πανεπιστήμιο είναι λίγο πιο μπροστά στην έρευνα και την καινοτομία». Πρόσθεσε ακόμη ότι σήμερα γίνεται εξαιρετική δουλειά στα ασιατικά πανεπιστήμια, την Κίνα και την Ινδία.