Μαθηματικός ανακάλυψε μια επαναστατική και πιο εύκολη μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Ένας μαθηματικός από το Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon ανέπτυξε έναν ευκολότερο τρόπο για να λύνει τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Ο μαθηματικός ελπίζει ότι αυτή η μέθοδος θα βοηθήσει τους μαθητές ώστε να μην χρειάζεται να απομνημονεύουν περίπλοκους τύπους.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι πολυώνυμα που περιλαμβάνουν x², και οι δάσκαλοι τα χρησιμοποιούν για να διδάξουν στους μαθητές πώς να βρίσκουν δύο λύσεις ταυτόχρονα. Η ευκολότερη μέθοδος, που αναπτύχθηκε από τον Δρ. Po-Shen Loh στο Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon, παρακάμπτει τις παραδοσιακές μεθόδους όπως η συμπλήρωση τετραγώνου και μετατρέπει την εύρεση των ριζών σε μια απλούστερη διαδικασία που περιλαμβάνει λιγότερα βήματα και είναι επίσης πιο διαισθητική.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις στο σχολείο

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση στην εκπαίδευση.  Οι μαθητές τις μαθαίνουν αρχικά σε μαθήματα άλγεβρας ή προ-άλγεβρας, αλλά τους δίνονται παραδείγματα που λύνονται πολύ εύκολα και με ακέραιες λύσεις. Το ίδιο συμβαίνει και με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Στο σχολείο τα περισσότερα παραδείγματα καταλήγουν να λύνονται σε Πυθαγόρειες τριάδες, το μικρό σύνολο ακέραιων τιμών που εφαρμόζονται καθαρά στο Πυθαγόρειο θεώρημα.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι πολυώνυμα, δηλαδή αλυσίδες μαθηματικών όρων. Μια έκφραση όπως “x + 4” είναι ένα πολυώνυμο. Μπορούν να έχουν μία ή πολλές μεταβλητές σε οποιονδήποτε συνδυασμό, και το μέγεθός τους καθορίζεται από τη δύναμη στην οποία υψώνονται οι μεταβλητές.  Έτσι, το x + 4 περιγράφει μια ευθεία γραμμή, ενώ το (x + 4)² περιγράφει μια καμπύλη.

Image

Εφόσον μια ευθεία διασχίζει μία μόνο φορά οποιοδήποτε συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος ή μήκος, η λύση της είναι μία μόνο τιμή. Αν έχουμε x², αυτό σημαίνει δύο ρίζες, σε σχήμα όπως ένας κύκλος ή ένα τόξο που κάνει δύο διασταυρώσεις. Η μέθοδος του Dr. Loh, την οποία παρουσίασε επίσης αναλυτικά στην ιστοσελίδα του, χρησιμοποιεί την ιδέα των δύο ριζών κάθε εξίσωσης δευτέρου βαθμού για να βρει έναν απλούστερο τρόπο υπολογισμού τους.

Διαπίστωσε ότι μπορούσε να περιγράψει τις δύο ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο: σε συνδυασμό, έχουν μέσο όρο μια συγκεκριμένη τιμή, και στη συνέχεια υπάρχει μια τιμή z που δείχνει οποιαδήποτε επιπλέον άγνωστη τιμή. Αντί να ψάχνουμε δύο ξεχωριστές, διαφορετικές τιμές, αναζητούμε αρχικά δύο ίδιες τιμές. Αυτό απλοποιεί το αριθμητικό μέρος κατά την ανάπτυξη της εξίσωσης.

Η μέθοδος του Loh

«Κανονικά, όταν κάνουμε ένα πρόβλημα παραγοντοποίησης, προσπαθούμε να βρούμε δύο αριθμούς που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν 12 και προστιθέμενοι δίνουν 8», είπε ο Dr. Loh. Αυτοί οι δύο αριθμοί είναι η λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού, αλλά οι μαθητές χρειάζονται πολύ χρόνο για να τους βρουν, καθώς συχνά χρησιμοποιούν τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος.

Αντί να ξεκινάει από τον πολλαπλασιασμό, 12, ο Loh ξεκινά από το άθροισμα, 8.

Αν οι δύο αριθμοί που ψάχνουμε, προστιθέμενοι, δίνουν 8, τότε πρέπει να απέχουν ίσα από τον μέσο όρο τους. Έτσι, οι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως 4–u και 4+u.

Όταν τους πολλαπλασιάζουμε, οι ενδιάμεσοι όροι ακυρώνονται και προκύπτει η εξίσωση 16–u² = 12. Όταν λύνουμε για το u, βλέπουμε ότι τόσο το +2 όσο και το –2 λειτουργούν, και όταν αντικαταστήσουμε αυτούς τους αριθμούς στις εξισώσεις 4–u και 4+u, παίρνουμε δύο λύσεις, 2 και 6, που λύνουν την αρχική πολυωνυμική εξίσωση.

«Είναι πιο γρήγορο από την κλασική μέθοδο (foiling) που χρησιμοποιείται στον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης — και δεν απαιτεί υποθέσεις» είπε ο Courtney Linder

Ο Δρ. Loh πιστεύει ότι οι μαθητές μπορούν να μάθουν αυτή τη μέθοδο με πιο διαισθητικό τρόπο, εν μέρει επειδή δεν απαιτείται κάποιος ειδικός, ξεχωριστός τύπος. Αν οι μαθητές μπορούν να θυμηθούν μερικές απλές γενικεύσεις για τις ρίζες, μπορούν να αποφασίσουν ποιο βήμα να ακολουθήσουν στη συνέχεια.

Εξακολουθεί να είναι περίπλοκο, ωστόσο λιγότερο περίπλοκο, ειδικά αν ο Δρ. Loh επαληθευτεί και πράγματι, αυτός ο τρόπος διευκολύνει την κατανόηση των μαθητών για τη λογική των εξισώσεων δευτέρου βαθμού και της λειτουργίας τους στα μαθηματικά. Για παράδειγμα, η κατανόησή τους, είναι καθοριστικής σημασίας για τις αρχικές προ – αλγεβρικές έννοιες, για παράδειγμα.

Χωρίς τα παραδείγματα που προσφέρονται στη σχολική τάξη, η δευτεροβάθμια μέθοδος, δεν είναι απλή. Τα πραγματικά παραδείγματα και οι εφαρμογές της, είναι περίπλοκα με δύσκολες ρίζες από δεκαδικούς και άρρητους αριθμούς.

Ως μαθητής, είναι δύσκολο να ξέρεις ότι βρήκες τη σωστή απάντηση. Η νέα μέθοδος του Dr. Loh είναι για την πραγματική ζωή, αλλά ελπίζει επίσης ότι θα βοηθήσει τους μαθητές να αισθανθούν ότι κατανοούν καλύτερα τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ταυτόχρονα.

Πολλοί φοιτητές ακόμη, δεν καταφέρνουν να εφαρμόσουν την κατανόηση των απλών παραδειγμάτων της τάξης στη ζωή γι’ αυτό ο Δρ. Loh ελπίζει να τους βοηθήσει να γεφυρώσουν αυτό το χάσμα.